samedi 13 février 2016

Des racines... et des ailes

Pas d'objectif de concurrencer une émission aussi célèbre.
Mais juste montrer qu'il est possible de se faire plaisir avec des géométries simples, grâce au théorème de Pythagore. Ne fuyez pas, car c'est au centre de tout ce que nous avons construit à ce jour.
Mais se dire qu'avec une règle et un compas on est capable de construire géométriquement toutes les racines entières des nombres entiers, c'est un peu fascinant.



Au début était un carré... autrement dit un polygone régulier à quatre côtés.
Si on dessine la diagonale d'un carré de côté 1 on trouve la racine carrée de 2. Ok, super.
And so what?
Et bien prenez un rectangle dont un côté vaut 1 et l'autre vaut racine carrée de 2. Sa diagonale vaudra.... racine carrée de 3. Et on peut prolonger l'expérience avec racine carrée de 3, racine carrée de 4 (autrement dit 2), etc...
D'où la figure ci-dessous:
Je vous laisse déterminer la formule générale récurrente valable pour toute racine carrée de nombre entier positif, et Pythagore vous sera d'une grande utilité.
Alors, que retenir de cela?
  • D'une part, les outils à notre disposition sont existants et depuis très longtemps. Autrement dit, "utiliser des choses triviales" n'est pas en opposition avec "trouver des choses nouvelles".
  • D'autre part, l'intéressant est le processus mis en œuvre. On commence à observer un phénomène "local": un carré de 1x1 a une diagonale de longueur racine de 2. Ensuite on généralise la solution en disant "un rectangle de côté de longueur 1 et de longueur racine de n a pour diagonale racine de (n+1). Et ça c'est Pythagore qui nous le confirme.
  • Enfin, la simplicité de la figure en induit sa force. Pas de solution réellement intéressante sans beauté et simplicité.
Alors, on pourra parler de précision de la solution (les erreurs de la solution précédente s'ajoutant à la solution cherchée), mais ce qui est intéressant est que, sans outils autres qu'une règle et un compas, on est capable d'approcher de façon satisfaisante des valeurs de racines entières de nombres entiers.

Et puis, c'est une approche très ludique (je parle là pour les enseignants) pour approcher des notions pas si naturelles que cela. Pythagore devient, pour le coup, assez sympa ;-)


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