jeudi 9 juin 2011

La modélisation d'un problème

Supposons que je doive résoudre une équation du second degré, par exemple celle-ci:


Il peut se passer plusieurs cas de figure.

Si je ne connais pas la manière de résoudre ce type de problème, alors je vais prendre des valeurs de x et regarder, en remplaçant ces valeurs dans la formule, si l'égalité est satisfaite.
Par exemple, en prenant x=1, on obtient 12-7-12=0 ce qui est à l'évidence faux. Je vais alors choisir une autre valeur jusqu'à trouver une des solutions au problème. Ensuite, si je sais développer, je serais en mesure de trouver la seconde valeur, et si non, eh bien je devrais recommencer la première méthode et trouver par essais successifs la seconde solution.
Cette méthode est bien connue sous le nom d'essais-erreurs.

Je peux éventuellement l'améliorer un peu en utilisant la dichotomie, et en m'aidant au fur et à mesure de mes essais d'un graphique représentant la fonction en question.
Et puis, il y a le cas où je connais la méthode de résolution. Contentons nous du monde des réels pour cet exemple.
La démarche va consister, dans un premier lieu, à identifier le type de problème posé: une équation du second degré. J'ai pour cela un modèle d'équation qui se présente sous la forme:


je reconnais dans l'équation proposée à comme problème cette forme caractéristique, avec, par identification, a=12, b=-7 et c=-12. Au besoin, je sais transformer la présentation de mon problème pour le mettre sous cette forme si caractéristique.

Une fois cette phase de reconnaissance faite, je sais qu'il existe des solutions de la forme:


Il me reste à identifier a, b et c dans cette solution standard pour trouver les valeurs de la solution cherchée.

Pour résumer, la résolution s'est faite ainsi:
  1. Identification du problème (l'équation à résoudre),
  2. Passage au problème standard (la forme caractéristique de l'équation, forme canonique),
  3. Reconnaissance des solutions du problème standard,
  4. Application de ces solutions standards au problème réel.
Le problème standard et la solution standard constituent le modèle de résolution du problème. Il  nous a donc fallu passer d'un problème réel à un problème standard, puis appliquer la solution standard au problème réel. C'est ce principe qui est utilisé par la matrice des contradictions techniques, ou par les vépoles et les 76 standards.
Le schéma de résolution est alors:


Le schéma met en évidence qu'il n'y a pas de passage direct entre le problème réel et sa solution réelle, mais que l'étape intermédiaire de modélisation est nécessaire.
Voila, l'objectif n'était pas de faire des maths, mais d'expliquer les fondements de certains des outils, dont la matrice et les vépoles. Ces outils ont été élaborés en observant les solutions génériques trouvées à des familles de problèmes par des inventeurs, et en déduisant des règles de ces résolutions. Cette façon d'opérer est aux antipodes d'une recherche de solution empirique, de type essais-erreurs, en permettant de nous guider pas à pas sur la voie de la solution.
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